درسنامهٔ منظم‌و‌به‌ترتیب

در این موضوع شما مجموعهٔ متنوعی از مسائل را خواهید دید که عمدتاً با سازمان دادنِ یک «جدولِ نظام‌دار» یا استفاده از «آزمون‌و‌خطا» یا «بررسیِ همهٔ حالت‌های ممکن» و به طورِ کلی استراتژی‌های این‌چنینی حل می‌شوند. سؤالاتِ این بخش ممکن است همهٔ موضوعاتِ بعدیِ این فصل را در خود داشته باشند. مثلاً شما احتمالاً در سؤالاتِ این فصل، هم پرسش‌هایی از بخش‌پذیری خواهید دید هم پرسش‌هایی از هندسه. علتش این است که این استراتژی‌ها تقریباً در همهٔ موضوعاتِ ریاضی به کار می‌آیند. 

برای پاسخ دادن به پرسش‌های این موضوع، کافی است منظم‌و‌به‌ترتیب فکر کنید و منظم‌و‌به‌ترتیب بنویسید! توضیحاتِ زیر می‌تواند شروعِ خوبی باشد.

بسیار پیش می‌آید که یک مسئله ظاهر سختی دارد و زمانی هم که شروع می کنیم به حل کردنِ آن، گرفتار می‌شویم و چیز خاصی به ذهنمان نمی‌رسد اما وقتی راهِ‌حل را می‌بینیم، از سادگیِ آن شگفت‌زده می‌شویم. مسئله‌های گوناگونی وجود دارند که این چنین‌اند و بخشی از آن‌ها فقط با نوشتنِ دقیقِ هرچه مسئله گفته است حل می‌شوند. یعنی فقط کافی است چیزهایی که مسئله گفته و خواسته را بنویسیم تا مسئله حل شود! این روشِ حل مسئله چنان ساده است که معمولاً کم‌تر کسی سراغش می‌رود و لابد آدم‌ها با خودشان می‌گویند: "مسئله به این سختی که این قدر ساده حل نمی‌شه!" اما واقعیتش این است که بسیاری از مسئله‌های ارزشمندی که شما با آن‌ها مواجه می‌شوید با همین روش حل می‌شوند. مثال زیر را ببینید. 

مسئله. حاصل‌ضربِ  دو عددِ طبیعیِ متمایز،  36 و مجموع آن‌ها کمتر از ۲0 استاین دو عدد را بیابید.

برای پاسخ به مسئله باید ببینیم حاصل‌ضربِ چه اعدادی در یکدیگر با ۳۶ برابر می‌شود. برای اینکه چیزی را از قلم نیندازم و چیزی را هم اضافه ننویسم، سعی می‌کنم به ترتیب از عددِ ۱ شروع کنم. از عددِ ۱ شروع می‌کنم چون در صورتِ مسئله گفته شده است اعدادِ طبیعی و می‌دانیم اعدادِ طبیعی یعنی: ۱ و ۲ و ۳ و۴ و ... .  (برای آشناییِ بیشتر، مدخلِ اعدادِ طبیعی را در واژه‌نامهٔ ریاضیِ سیستان ببینید.)

برای اینکه دقیق‌تر توضیح دهم می‌خواهم چه کار کنم، باید بگویم از ۱ شروع می کنم و بررسی می‌کنم که آیا عددی هست که در ۱ ضرب شود و حاصلِ این ضرب با ۳۶ برابر شود؟ (به عبارتِ دیگر آیا ۳۶ بر ۱ بخش‌پذیر است؟) بعد می‌روم سراغِ عددِ ۲ و این مورد را دربارهٔ ۲ هم بررسی می‌کنم و همین‌طور پیش می‌روم.  

آیا ۳۶ بر ۱ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۳۶×۱

آیا ۳۶ بر ۲ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۱۸×۲

آیا ۳۶ بر ۳ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۱۲×۳

آیا ۳۶ بر ۴ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۹×۴

آیا ۳۶ بر ۵ بخش‌پذیر است؟ خیر: چون هیچ عددی نیست که اگر در ۵ ضرب شود حاصلِ این ضرب برابرِ ۳۶ شود.

آیا ۳۶ بر ۶ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۶×۶

آیا ۳۶ بر ۷ بخش‌پذیر است؟ خیر

آیا ۳۶ بر ۸ بخش‌پذیر است؟ خیر

آیا ۳۶ بر  ۹ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۴×۹

آیا ۳۶ بر ۱۰ بخش‌پذیر است؟ خیر

آیا ۳۶ بر ۱۱ بخش‌پذیر است؟ خیر

آیا ۳۶ بر ۱۲ بخش‌پذیر است؟ بله:   ۳۶ = ۳×۱۲

تا کجا لازم است این بررسی را ادامه دهم؟ تا خود ۳۶؟ اگر دقت کنیم متوجه می‌شویم این ضرب‌ها دارند تکرار می‌شوند. یعنی ۹×۴ همان ۴×۹ است.پس نیازی نیست دوباره بنویسیمش. درواقع از ۶×۶ به بعد دیگر همه چیز تکراری است و اگر بعد از این حاصل‌ضربِ دو عدد با ۳۶ برابر شود، ما این ضرب را قبل از ۶×۶ نوشته‌ایم. مثلاً ۱۲×۳ که دوباره تکرار می‌شود. (در بخشِ مربوط به بخش‌پذیری در این مورد بیشتر صحبت شده است.) 

پس ما همهٔ چیزهایی که می‌خواستیم را پیدا کرده‌ایم. همهٔ حالت‌هایی که ممکن است حاصل‌ضربِ دو عددِ طبیعی ۳۶ بشود در جدول زیر آمده است. (درست است که ما تا ۳۶ پیش نرفتیم و درواقع در ۶ متوقف شدیم اما فهمیدیم اصلاً نیازی نیست تا آنجا برویم.)

حاصل‌ضربِ کدام دو عدد، ۳۶ می‌شود؟
حاصل‌ضرب عددِ دوم عددِ نخست
 ۳۶ ۳۶  ۱
۳۶ ۱۸ ۲
۳۶ ۱۲ ۳
 ۳۶  ۹  ۴
۳۶   ۶  ۶


در صورتِ مسئله گفته شده است به دنبالِ دو عددِ متمایز می‌گردیم. متمایز یعنی مختلف. اعدادِ متمایز یعنی اعدادی که باهم برابر نیستند. پس آخرین سطرِ جدول یعنی ۶×۶ مورد قبول نیست. چون ۶ و ۶ که مختلف نیستند و هر دو یک چیز هستند!

پس فقط این‌ها می‌مانند: 

۱×۳۶          ۲×۱۸          ۳×۱۲          ۴×۹

از طرفی مسئله گفته است حاصل‌جمعِ دو عددی که دنبالشان می‌گردیم باید از ۲۰ کمتر باشد. حالا دوباره با این شرایط این اعداد را به نوبت بررسی می‌کنیم:

۳۷ = ۳۶+۱          ۲۰=۱۸+۲          ۱۵=۱۲+۳          ۱۳=۹+۴

خوب! تکلیف معلوم شد. ۳۷ و ۲۰ که از ۲۰ کمتر نیستند (قبول داری که ۲۰ از ۲۰ کم‌تر نیست دیگر؟ این دو با هم مساوی‌اند.) می‌ماند ۱۵ و ۱۳ که از ۲۰ کم‌ترند و شرایطِ مسئله دارند. پس پاسخِ مسئله چنین است:

تمامِ حالت‌های ممکن برای اینکه حاصل‌ضربِ دو عددِ طبیعی، برابر با ۳۶ و حاصل‌جمعِ آن‌ها کم‌تر از ۲۰ باشد دو تا است. آن دو عدد می‌توانند یا ۳ و ۱۲ باشند یا ۴ و ۹. ممکن بود پرسش این‌طور مطرح شود که «چند جفت عدد وجود دارند که پاسخِ این مسئله باشند؟» در آن صورت، پاسخ می‌شد: دو جفت عدد: جفتِ  (۴ و ۹) و جفتِ (۳ و ۱۲).

همان‌طور که دیدید در این روش مهم است که شما حالت‌های مختلفی که ممکن است پاسخِ یک مسئله داشته باشد را به صورتِ منظم‌و‌به‌ترتیب بنویسید. در واقع این به ترتیب نوشتن باعث می‌شود شما نه چیزی را فراموش کنید و نه چیزی را اضافه بنویسید. ما از اول نمی‌دانیم کدام حالت‌ها درست و کدام غلط‌اند. با بررسیِ همهٔ حالت‌ها این موضوع را می‌فهمیم.

خطری که ممکن است شما را تهدید کند این است که بخواهید این روش را در ذهنتان انجام دهید که بسیار کارِ  پر ریسکی است و به احتمالِ زیاد اشتباه خواهید کرد. اصلاً اسمِ این روش درواقع این است: 

"منظم‌و‌به‌ترتیب فکر کردن-منظم‌و‌به‌ترتیب نوشتن."

پیش از آنکه سراغِ تمرین‌های این بخش بروید، می‌توانید به مسئلهٔ زیر (که بسیار مشابه مسئله‌ای است که آن را حل کردیم)، فکر کنید:

مسئله. حاصل‌ضربِ دو عددِ طبیعیِ متمایز،  ۳۶۰ و مجموع آن‌ها کمتر از ۱۰۰ است این دو عدد چه اعدادی می‌توانند باشند؟

در این نسخهٔ رایگان، شما فقط به نخستین و دومین تمرینِ این بخش دسترسی دارید.

نخستین تمرین دومین تمرین سومین تمرین چهارمین تمرین

نخستین خودارزیابی

نخستین آزمون دومین آزمون سومین آزمون چهارمین آزمون

دومین خودارزیابی

تمرین‌های تکمیلی