اردو زدن در ریاضیات

همۀ شما می‌دانید چطور باید مساحت یک مستطیل و مساحت یک دایره را حساب کرد. و احتمالاً می‌دانید هر مربعی یک مستطیل است. (اگر هم دلیلش را نمی‌دانید، سعی کنید دلیلش را بفهمید!) حالا سعی کنید راهِ‌حلی برای پرسش زیر دست و پا کنید.

مسئله. تصور کنید یک دایره درون یک مستطیل، که طول و عرضش به ترتیب 10 و 4 واحدند، گیر افتاده است. یعنی هیچ بخشی از آن نمی­‌تواند از مستطیل خارج شود اما ممکن است با محیطِ مستطیل برخورد کند. بزرگ‌ترین دایره‌ای که می‌توان درون این مستطیل رسم کرد چه مساحتی دارد؟ هرجا لازم بود عددِ پی را 3 در نظر بگیرید.

برای حلِ چنین مسئله‌ای بهتر است چند شکل برای خود رسم کنید که معلوم شود دنبال چه چیزی می‌گردید. هرچه باشد قرار است بخش­های مختلفِ راهِ حل را به هم ببافیم پس حتماً به یک نقشۀ نصفه و نیمه هم که شده نیاز داریم. در اینجا شکل کشیدن، کارِ همان نقشه را می‌کند.

شکل یک، شکلِ درستی است چون هیچ بخشی از دایره از مستطیل بیرون نزده است. پس یکی از چیزهایی که مسئله خواسته را رعایت کرده‌ام. اما شکلِ زیر چطور؟

شکل دو، شکل درستی نیست، چون بخشی از دایره از مستطیل بیرون زده است. پس یکی از چیزهایی که مسئله خواسته را رعایت نکرده‌ام.

اما باید به نکتۀ دیگری هم توجه کنیم. درواقع قبل از رسم چنین شکلی باید به آن توجه می‌کردیم!

در مسئله گفته شده است طول و عرض مستطیل به ترتیب 10 و 4 واحدند. این واژۀ به ترتیب در مسئله‌های ریاضی زیاد دیده می‌شود. البته در اینجا تکلیف روشن است و چون به ضلعِ بزرگ‌ترِ مستطیل می‌گوییم طول و به ضلعِ کوچک‌ترِ مستطیل می‌گوییم عرض، مشخص است که در اینجا طول مستطیل 10 واحد و عرض آن 4 واحد است، اما اگر مثلاً بگوییم سنِ محتشم و مخبر به ترتیب 14 و 10 سال است، باید توجه کنیم منظور این است که مُحتَشَم 14 ساله است و مِخبِر 10 ساله است. حالا تصور کنید تعداد آدم‌هایی که می‌خواهیم دربارۀ سنِ آن‌ها حرف بزنیم 12 نفر باشد. حتماً حدس می‌زنید که اگر این قاعده را رعایت نکنیم چه گرفتاریِ بزرگی خواهیم داشت.

[اگر بگوییم قدِ فردِ 1 و فردِ 2 و فردِ 3 و فردِ 4 و فردِ 5 به ترتیب 160 و 170 و 180 و 190 و 200 سانتی‌متر است معنایش این است که فردِ 1، 160 سانتی‌متر قد دارد؛ فردِ2، 170 سانتی‌متر قد دارد و همین‌طور تا فردِ 5 که 200 سانتی‌متر قد دارد.]

برگردیم به موضوعِ قبلی یعنی طول و عرضِ این مستطیل. در مسئله گفته شده است طولِ مستطیل 10 و عرضِ آن 4 واحد است. اما واحد یعنی چه؟ احتمالاً شما معنیِ واحد را می‌دانید. اگر هم نمی‌دانید، همین‌قدر بدانید که در اینجا می‌توانید طول و عرضِ این مستطیل را 10 و 4 متر، 10 و 4 کیلومتر یا 10 و 4 نانومتر یا هرجورِ دیگری که می‌خواهید رسم کنید، فقط کافی است اگر طول را به کیلومتر رسم کردید عرض را هم به کیلومتر رسم کنید و اگر یکی را به متر کشیدید دیگری را هم باید به متر بکشید.

البته در این شرایط بهتر است که شما واحد را سانتی‌متر در نظر بگیرید که هم در چرک‌نویستان جا بگیرد (10 کیلومتر در کاغذهای معمولی جا نمی‌شود.) و هم این‌قدر کوچک نباشد که نتوانید روی شکل کار کنید. بله! درست نوشته‌ام: «کار کنید» باید روی شکل‌ها کار کنیم تا مسئله‌ها حل شوند.

پس تا اینجا می‌دانیم معنیِ کلمه‌های به کار رفته در مسئله چیست و تا حدودی نقشه‌ای برای آن رسم کرده‌ایم. اما راستش را بخواهید برای من کمی طول می‌کشد تا حواسم کاملاً متمرکزِ مسئله و حلِ آن بشود. به همین دلیل معمولاً بهتر است چندتا شکل بکشم تا اصطلاحاً با مسئله کنار بیایم. البته من همیشه موقع حل مسئله به خودم یادآوری می‌کنم که کسی دنبالم نکرده است! و عجله‌ای ندارم. برای همین با خیالِ راحت شروع می‌کنم به شکل کشیدن و کلنجار رفتن با مسئله. پیشنهاد می‌کنم شما هم همین کار را بکنید. بسیار مهم است که شکل‌ها را با خط‌کش و پرگار و گونیا و نقاله بکشید.

مثلاً من شکل‌های زیر را می‌کشم و دقت می‌کنم ببنیم چیزهایی که مسئله خواسته را رعایت کرده‌ام یا نه. هم‌زمان به کم و زیاد شدنِ مساحتِ دایره هم توجه می‌کنم چون قرار است بیشترین حالت ممکن برای مساحت را پیدا کنم.

همۀ شکل‌های سه تا شش به جز شکلِ پنج، چیزهایی که مسئله گفته را رعایت کرده‌اند.

درواقع شکلِ شش این نکته را برای من روشن می‌کند که قطرِ این دایره نمی‌تواند از 4 واحد بزرگ‌تر باشد چون اگر بزرگ‌تر از این باشد در مستطیل جا نمی‌شود و بنابراین چیزی که مسئله خواسته را رعایت نکرده‌ام. پس بزرگ‌ترین دایره‌ای که می‌توان در این مستطیل رسم کرد که هیچ بخشی از آن بیرون از مستطیل نباشد، دایره‌ای است که قطرش 4 واحد است (یعنی شعاعش ۲ واحد است). مساحت دایره‌ای هم که شعاعش ۲ واحد است از رابطۀ زیر به دست می‌آید. 

اگر هم بپرسید چرا عددِ پی را برابر با 3 در نظر گرفته‌ام، خواهم گفت: دوباره صورتِ مسئله را بخوانید!

برای اینکه بهتر هم ببینیم که این بزرگ‌تر شدنِ قطرِ دایره، و همواره درونِ مرزهای مستطیل باقی ماندنش، چه شکل و شمایلی دارد، شکل‌ زیر می‌تواند کمک‌کننده باشد.

خوب است به این نکته توجه کنید که فقط یک دایره نیست که درون این مستطیل باشد و مساحتِ آن ۱۲ واحدِ مربع باشد. درواقع این مربع‌ها آن‌قدر زیادند که نمی‌شود آن‌ها را شمرد. شکل نُه را ببینید. البته این موضوع تغییری در مسئله ایجاد نمی‌کند چون ما می‌خواستیم ببینیم بزرگ‌ترین مساحت برای یک دایره درون این مستطیل چقدر است. مساحت هم که یک عدد است (که البته این عدد واحد هم دارد). ما هم آن عدد را پیدا کردیم: ۱۲. 

من معمولاً وقتی برای حل مسئله‌ای این‌قدر وقت گذاشته‌ باشم، به این سادگی‌ها از کنارش نمی‌گذرم! باید ماجرا را تا جایی که می‌شود پیش ببرم. از شانس خوب من ریاضیات یکی از بهترین موضوعات برای این روحیۀ من است. انگار هیچ وقت تمام نمی‌شود، هرقدر بخواهی بازی کنی، با آدم راه می‌آید. حتی می‌توانی قوانینِ دل‌بخواهی خودت را به آن تحمیل کنی و حتی بعضی جاها نظرت را عوض کنی و قوانین را تغییر بدهی که بیشتر خوش بگذرد. خلاصه ریاضیات بازیِ بی‌پایانِ انعطاف‌پذیری است.

حالا تصور کنید مسئله از ما خواسته است بیشترین مساحتی که می‌شود با دو دایره درون این مستطیل پوشاند را به دست بیاوریم. این یعنی کاری کنیم که جمع مساحت‌های این دو دایره بیشترین حالتِ ممکن شود.

دلیلی ندارد همین‌جا متوقف شویم. می‌شود به این فکر کنیم که اگر شرایط جوری بود که این دایره‌ها درون مستطیل جا نمی‌شدند باید چه می‌کردیم. ببینیم در چه شرایطی ممکن بود چنین اتفاقی رخ دهد. مثلاً اگر بخواهیم 3 تا دایره را در مستطیل جا بدهیم. یا مثلاً مستطیل را جوری در نظر بگیریم که دوتا از بزرگ‌ترین دایره‌ها درونش جا نگیرد. بیایید اول حالت دوم را بررسی کنیم!

فرض کنیم طول و عرض مستطیل به ترتیب 6 و 4 واحدند. در این صورت باز هم بزرگ‌ترین دایره‌ای که در این مستطیل جا می‌گیرد، دایره‌ای با قطر 4 واحد است. اما دوتا از این دایره‌ها را نمی‌شود جوری درونِ این مستطیل گذاشت که هیچ بخشی از آن‌ها از مستطیل بیرون نزند. پس چیزی که مسئله خواسته رعایت نمی‌شود. شکل یازده را ببینید.

اما در هر صورت مسئله از ما خواسته بیشترین مساحت از این مستطیل که می‌شود با دو دایره پوشاند را حساب کنیم. من طبق عادت سراغِ کشیدنِ شکل‌های متنوع خواهم رفت.در شکل دوازده، دایرۀ الف بزرگ‌ترین دایره‌ای است که می‌توان در این مستطیل کشید. دایره ب هم بعد از رسم شدنِ دایرۀ الف بزرگ‌ترین دایره‌است که می‌توان در مستطیل جا داد. طول مستطیل 6 واحد و قطر دایرۀ الف 4 واحد است پس 2 واحد برای قطر دایرۀ ب باقی می‌ماند. در این صورت مجموعِ مقدارِ مساحتِ دو دایره برابر است با: (عدد پی را با 3 برابر در نظر می‌گیریم و شعاعِ ب را 1 و شعاعِ الف را 2)

 15 = (3×2×2) + (3×1×1)

روشن است که نمی‌توانیم قطر دایرۀ الف را بیشتر کنیم. پس برای اینکه تغییری در شکل ایجاد کنیم تا بتوانیم حالت‌های دیگر را هم امتحان کرده باشیم، ناچاریم قطر دایرۀ ب را تغییر دهیم. اگر قطر دایرۀ ب را کم‌تر کنیم، مجموعِ مساحتِ این دو دایره کم‌تر می‌شود اما ما به دنبال بیشتر کردنِ این مجموعِ مساحتِ این دو هستیم. پس باید قطرِ دایرۀ ب را بیشتر کنیم. اگر قطرِ الف ثابت بماند و قطر ب را بیشتر کنیم، ب از مستطیل بیرون میفتد. پس اگر می‌خواهیم قطر ب را بیشتر کنیم باید هم‌زمان قطرِ الف را کم‌تر کنیم. مثلاً در شکل زیر قطر الف را ۳/۵ و قطر ب را ۲/۵ در نظر بگیریم. در این صورت مجموعِ مقدارِ مساحتِ این دو برابر است با: ۱۳/۸۷۵ (محاسبات را خودتان انجام دهید!)