✜ریاضیات بدونِ مرز✜
زبانِ سریِ خیارشورها
مسئله. خیارشورهایی که در کارخانۀ هوشمندسازی تربیت شده‌اند، یک زبانِ سرّی بینِ خودشان درست کرده‌اند و پیام‌هایی را با نقطه و خط بینِ خودشان رد و بدل می‌کنند که هنوز مدیرانِ کارخانه نتوانسته‌اند به طورِ کامل آن پیامها را رمزگشایی کنند. خیارشورها برای گمراه کردنِ آدم‌ها بعضی وقت‌ها پیام‌های بی‌معنا برای هم می‌فرستند. اما آدم‌ها درمورد این پیامها مطمئن شده‌اند که شرایطِ پنج‌گانۀ زیر درست است.
-
پیامی که فقط یک نقطه و یک خط باشد ( - . ) یک پیام معنی‌دار است. البته مهم است که خط در سمت راستِ نقطه باشد.
-
پیامی که به شکلِ - - - باشد، یک پیام معنادار است.
-
پیامی که به شکلِ الف - . - باشد، به این شرط معنی‌دار است که الف خودش یک پیامِ معنی‌دار باشد.
-
پیامی که به شکلِ - - . - ب . ج باشد، به این شرط معنی‌دار است که ب خودش یک پیامِ معنی‌دار باشد و ج یک پیام بی‌معنا باشد.
-
اگر پیامی در هیچ صورتی شبیه یکی از چهار حالت بالا نباشد، یک پیام بی معناست.
پیام‌هایی که در روزِ گذشته ارسال شده‌اند را در زیر نوشته‌ام. مشخص کنید کدام پیامها معنی‌دارند و کدام پیامها معنی‌دار نیستند.
-
. . .
-
- . - . -
-
- - . - - . #
-
- - . - - - . - - . - . - . . . -
راهِ حل:
حل کردنِ این مسئله دو چیز مهم می‌خواهد. یکی اینکه بفهمیم معنای این الف و ب و ج در شرایط پیام‌های معنادار چیست و یکی هم اینکه با تمرکز و حوصله هر یک از چهار پیامِ خواسته شده را با شرایط پنج‌گانۀ پیامِ معنادار، مقایسه کنیم.
الف و ب و ج که در متن شرایط آمده‌اند، درواقع خودشان بخشی از یک پیام‌اند و ممکن است هرچیزی باشند. درواقع منظور مسئله این است که هرچیزی جای این‌ها که دلت می‌خواهد بگذار، فقط اگر شرایطی را که من می‌گویم داشت، پیام معنادار است و اگر نداشت معنادار نیست. مثلاً الف ممکن است . - - باشد یا گوریل باشد یا پدرِ انیشتین باشد یا - . باشد.
بین این‌ها که گفتم فقط آخری پیامِ معنادار است، پس می‌تواند یک پیام معنادار مانند شرط سوم بسازد. یعنی پیامِ پدرِ انیشتین - . - معنادار نیست چون پدر انیشتین یک پیام معنادار نیست چون در هیچ کدام از شرایط پنج‌گانه گفته نشده است که چنین چیزی معنادار است. حالا ممکن است کسی بگوید نگفته که نگفته! اما باید توجه کنیم که در صورت مسئله گفته شده است آدم‌ها درمورد این پیامها مطمئن شده‌اند که این شرایط پنج‌گانه درست است. ما هم که هدفمان آشنایی با اجداد انیشتین نیست و می‌خواهیم همین مسئله را حل کنیم؛ پس باید به هرچیزی که در صورت مسئله گفته شده است اعتماد کنیم و از آن‌ها استفاده کنیم.
شاید مثال زیر بتواند کمکِ بیشتری به روشن شدن نقش الف و ب و ج در این مسئله بکند.
فرض کنید من می‌خواهم پلاک یک ماشین را که در یکی از شهر‌های ایران دیده‌ام روی یک کاغذ بنویسم. آیا ممکن است پلاک زیر پلاکی باشد که دیده‌ام؟
اگر
پلاک‌های زیادی در خیابان دیده باشید و
به آن‌ها دقت کرده باشید می‌دانید که
ممکن نیست من پلاک بالا را دیده باشم
(البته
اگر فرض کنیم کسی نمی‌خواسته با پلاک
جعلی در خیابان رفت و آمد کند.)
اما چرا؟ چون پلاک‌هایی که در ایران ساخته می‌شوند یک الگوی مشخص دارند (در اینجا با پلاک‌های گذر موقت و این‌چیزها کاری نداریم). الگوی این پلاک‌ها این است که ما اول باید در سمت راست پلاک بنویسیم ایران و زیرِ آن یک عدد دو رقمی بنویسیم. مثلاً ایران 11. بعد اگر از سمت چپ بخوانیم یک عدد دو رقمی بعد یکی از حروف الفبا و بعد یک عدد سه رقمی.
مثلاً 567 ق 12. پس یک پلاک کامل ممکن است چنین چیزی باشد:
به این توضیحاتی که من دربارۀ یک پلاک دادم می‌گویند الگوی پلاک. یعنی طبق یک الگو پلاک‌ها ساخته می‌شوند. درست مانند اینکه شما از روی یک الگو یک چیز را نقاشی کنید یا بدوزید. حالا من می‌توانم بگویم الگوی ساختنِ یک پلاک مانند شکلِ زیر است:
که در آن به جای مربع یک عدد دو رقمی است به جای مستطیل یک عدد سه رقمی است و به جای دایره یکی از حروف الفبا است و به جای مثلث یک عدد دو رقمی است. اکنون کافی است شما فقط شرایط مربع و دایره و مستطیل و مثلث را رعایت کنید تا یک پلاکِ فرضی درست کنید.
بیایید پلاک اولی که من مثال زدم را بررسی کنیم.
در
این پلاک به جای مثلث چه چیزی نوشته شده
است؟ بله!
703. در
حالی که طبق الگو باید یک عدد
دو رقمی نوشته شود.
پس
همین یعنی این پلاک نمی‌تواند وجود داشته
باشد.
البته
این پلاک مشکلات دیگری هم دارد.
به
جای مستطیل یک عدد پنج‌رقمی نوشته شده
است که این هم اشتباه است، چون باید عددی
سه‌رقمی نوشته می‌شد. به
جای دایره هم که باید یکی از حروف الفبا
می‌آمد، علامتِ @
آمده
است که چون یکی از حروف الفبا نیست پس یک
علامت غیرمجاز است.
پس
وضعیت این پلاک بسیار اسفناک است!
فقط کلمهٔ ایران و عدد درون مربع (34
که
مطابق الگو یک عدد دورقمی است)
درست
نوشته شده است.
در مسئلۀ پیام‌های خیارشوری هم، الف و ب و ج نقش همین دایره و مثلث و مربع را دارند. درواقع شرایط پنج‌گانۀ این مسئله یک الگوی ساختن پیام را به ما معرفی می‌کنند. دارند می‌گویند جای الف چه چیزهایی می‌توانیم بگذاریم تا یک پیام معنادار ساخته شود. همین‌طور درمورد ب و ج. پس من اگر بخواهم ببینم یک پیام معنادار است یا نه، کافی است پیام را یک به یک با الگوی پنج‌گانه مقایسه کنم.
پیام اولی که مسئله خواسته است بررسی کنیم . . . است.
این پیام شبیه هیچ یک از شکل‌های 1 و 2 و 3 و 4 نیست. پس سراغ شرط پنجم می‌رویم. شرط پنجم بسیار ساده است. می‌گوید اگر شرایط قبلی برقرار نبود پیام شما یک پیام بی‌معنا است. پس پیامِ . . . یک پیامِ بی‌معنا است.
اکنون دومین مورد را بررسی می‌کنیم. پیام - . - . - شبیه الگوی اول و دوم نیست. اما الگوی سوم چطور؟ الگوی سوم گفته است پیام‌های به شکل الف - . – پیام‌های معنادارند. اگر پیامِ - . - . - قرار باشد شبیه این الگو باشد، ما باید بخش - . - را جدا کنیم (چون این بخش دقیقاً مشابهِ سمتِ چپ و قبل از الف در الگوی سوم است.) تا ببینیم در این پیام به جای الف چه چیزی نوشته شده است و بعد بررسی کنیم ببینیم معنادار است یا نه. اگر این کار را بکنیم می‌بینیم چیزی که به جای الف نشسته است - . است. طبق شرط اول - . یک پیام معنادار است پس کل پیامِ - . - . - یک پیام معنادار است. شکلِ زیر می تواند کمک‌کننده باشد.
پیام بعدی که مسئله خواسته است بررسی کنیم - - . - - . # است. واضح است که این پیام شبیه هیچ کدام از الگوها نیست. چون در هیچ کدام از الگوها علامتِ # به کار نرفته است، پس طبق شرط پنجم یک پیام بی‌معنا است.
پیامِ بعدی - - . - - - . - - . - . - . . . - است. در شکل زیر سعی کرده‌ام نشان دهم که چرا این پیام معنادار است. توجه داشته باشید کل این پیام بر اساس الگوی چهارم است که به جای حرفِ ب، علائمِ - - . - - . - . - . . آمده‌اند و به جای ج هم – آمده است. در این پیام، علامتِ . بین ب و ج در الگوی سوم و علائمِ - - . - که در الگوی سوم در سمتِ راستِ ب قرار دارند عیناً تکرار شده است. در الگوی سوم گفته شده است ب باید معنادار باشد و ج بی معنا. خوب – که به جای ج آمده است بی‌معناست و باید بررسی کنیم که - - . - - . - . - . . که به جای ب آمده است معنادار است یا نه. خودِ همین پیام بر اساس الگوی چهارم نوشته شده است که به جای حرفِ ب، علائمِ - . - . – آمده‌اند و به جای ج، علامتِ . آمده است. . که بی‌معنا است و باز هم مشکلی در بخش ج وجود ندارد. اما ب چطور؟ - . - . – معنادار است؟ بله! چون این پیام بر اساس الگوی سوم نوشته شده است و در این بخش به جای الف - . آمده است که خودش بر اساس الگوی اول معنادار است. پس بخش ب در هر دو پیامی که بررسی کردیم معنادار است و بخش ج در هر دو پیام بی‌معنا. پس کل پیام اولیه معنادار است.
البته توجه کنید می‌شد پیام آخر را جوری بررسی کنیم که بی‌معنا باشد. مثلاً به جای اینکه خط سمت چپ را به جای ج در نظر بگیریم، یک خط و یک نقطه را از سمت چپ، به جای ج در نظر می‌گرفتیم (بررسی کنید ببینید چرا در این صورت پیام آخر بی‌معنا می‌شد؟). خب حالا باید چه کار کنیم؟ یک پیام در یک صورت بی‌معنا و در یک صورت معنادار است. اگر شرط پنجم را دقیق ببینیم (اگر پیامی در هیچ صورتی شبیه یکی از چهار حالت بالا نباشد، یک پیام بی معناست.) متوجه می‌شویم مسئله از ما خواسته است حالت‌های مختلف یک پیام را بررسی کنیم. اگر حتی در یک صورت هم معنادار باشد، باید آن پیام را معنادار حساب کنیم. بنابراین از آنجا که پیام آخر را می‌شود در حالتی معنادار در نظر گرفت، این پیام معنادار است.
هر چهار پیامی که مسئله از ما خواسته بود را بررسی کردیم. اما دو کارِ مفیدِ دیگر هم هست که خوب است آن‌ها را انجام دهید. نخست اینکه تلاش کنید براساس شرایطِ پنج‌گانه، خودتان پیام‌های معنادارِ پیچیدۀ دیگری اختراع کنید. دوم اینکه به این پرسش فکر کنید که آیا تعداد پیام‌های معناداری که می‌شود با این شرایط ساخت، محدود است؟ یا می‌توانیم هرقدر که دلمان می‌خواهد پیام معنادار بسازیم؟
البته همیشه اطلاعاتِ مسئله، مانندِ مثال‌های بالا واضح و دمِ‌دست نیستند و لازم است کمی موشکافی کنیم تا آن‌ها را بیابیم. علاوه بر موشکافی باید به آنچه می‌یابیم اعتماد کنیم و هیچ چیز را در مسئله دستِ کم نگیریم. مسئلۀ بعدی را ببینید.
*پیش از آنکه مسئلهٔ بعدی را ببینید شاید دوست داشته باشید بدانید آیا این پیامها خیالی‌اند یا در واقعیت هم چیزی شبیه این‌ها داریم. راستش را بخواهید هم خیالی است، هم در واقعیت ریشه دارد. درواقع استفاده از نقطه و خط برای ارسال پیام‌های سری یکی از رایج‌ترین شیوه‌های رمزنگاری است اما این شکلی که در اینجا از آن‌ها استفاده شده است، اختراعِ این کتاب است. اگر می‌خواهید با این شیوهٔ رمزنگاری در واقعیت آشنا شوید، روی تصویرِ زیر بزنید.
