اردو زدن در ریاضیات

تصور کنید قرار است مسئلۀ زیر را حل کنید.

مسئله. یک شیرِ حوض، در 6 ساعت حوض را پر می‌کند. شیرِ دیگری همان حوض را در 3 ساعت پر می‌کند. اگر این دو شیر را هم‌زمان باز کنیم چقدر طول می‌کشد که حوض پر شود؟ (سرعتِ کارِ هر دو شیر ثابت است.)

این نوعِ سؤال در بسیاری از آزمون‌ها رایج است. از زمانی که من دانش‌آموز بودم رایج بود! در نظرِ من این سؤال ساده نیست. یعنی از آن سؤال‌هایی نیست که تا می‌بینیشان راهِ حل هم به ذهنت برسد (نمونه‌ای از سؤال‌هایی که  آدم با دیدنِ صورتِ مسئله دست به کارِ حلِ آن می‌شود، چنین چیزی است: مساحتِ مستطیلی را پیدا کنید که طولِ آن سه سانتی‌متر و عرضِ آن 1.2 سانتی‌متر است- پاسخ: خوب اینکه معلوم است، این دو عدد را در هم ضرب می‌کنیم).

اما بعضی‌ها تلاش می‌کنند راهی را به بقیه یاد بدهند که بشود  این سؤال‌ها را هم با یک نگاه حل کرد. برخی از پاسخ‌هایی که ممکن است در کتاب‌ها یا فیلم‌های آموزشی ببینید یا از افرادِ مختلف بشنوید را در زیر آورده‌ام.

راه‌حل‌هایی که معمولاً گفته می‌شوند:

• روشِ نخست: می‌دانیم اگر یک ماشین کاری را در  a ساعت و ماشینِ دیگری همان کار را در b ساعت انجام دهد، زمانِ لازم برای انجام آن کار توسطِ دو ماشین به صورت هم‌زمان برابر است با: 

                                                                                            

             در اینجا ۶=a و ۳=b. پس جواب برابر است با:     

             یعنی اگر این دو شیر با هم کار کنند، ۲ ساعت طول می‌کشد که حوض را پر کنند. 

• روشِ دوم:  ابتدا به مقادیرِ زمانِ هر یک، صورتِ یک می‌دهیم و حاصل‌های به دست آمده را جمع می‌کنیم. معکوسِ حاصلِ این جمع برابر است با پاسخِ مسئله.

             پس در اینجا ۳ تبدیل می‌شود به  و ۶ تبدیل می‌شود به . 

            طبق روشِ گفته‌شده این اعداد را باهم جمع می‌کنیم: 

            حالا باید این حاصل را معکوس کنیم. یعنی باید  را معکوس کنیم تا جوابِ نهایی به دست بیاید که می‌شود ۲. 

             یعنی اگر این دو شیر با هم کار کنند، ۲ ساعت طول می‌کشد که حوض را پر کنند. 

راهِ حل‌های بالا غلط نیستند اما معلوم هم نیست چرا درست‌اند! خیلی وقت‌ها برای یاد گرفتنِ ریاضیات لازم است بعضی چیزها را بدونِ توضیح بپذیریم تا بتوانیم چیزهای جدید یاد بگیریم. مثلاً شما رابطه‌ای را که با آن مساحتِ مستطیل را حساب می‌کنیم (طول‌ضرب‌در‌عرض)، بدونِ توضیح پذیرفته‌اید (اعتراض نکنید چون برای توضیح دادنش حدأقل باید سوادِ ریاضیِ سال دوازدهم را داشته باشید). ولی تعدادِ چیزهایی که باید آن‌ها را بدونِ توضیحِ دقیق قبول کنیم، آن‌قدر هم زیاد نیست. درواقع هرچیزی از این جنس در کتابِ درسیِ ریاضیِ شما گفته شده است. بنابراین اگر چیزی در کتابتان نیست، لابد دلیلی دارد که نیست! و شما نیاز به حفظ کردنِ آن ندارید. پس موضوع ساده است؛ اگر رابطه یا فرمولی در کتابِ درسیِ ریاضیِ آموزش و پرورش آمده بود و کتاب خواسته بود از آن استفاده کنیم، آن را حفظ می‌کنیم و از آن استفاده می‌کنیم، اگر رابطه یا فرمولی در کتابِ درسی نبود، آن را نادیده می‌گیریم و از آن استفاده نمی‌کنیم.

دو راه‌حلی که در بالا آورده‌ام از ما انتظار دارند که از گفته‌هایشان مانند وِرد و جادو استفاده کنیم. آن‌ها را حفظ کنیم و هرجا موقعیتش پیش آمد، آن‌ها را زیرلبی تکرارشان کنیم تا سؤال حل شود. فردی را تصور کنید که وقتی سؤالِ شیرِ حوض را می‌بیند دهانش را نیمه‌باز کند و آرام‌آرام برای خود بخواند (انگار که زنبوری وز وز کند): «هروقت دوتا ماشین بودن برای یه کار، بهشون صورت یک بده، بعد با هم جمع کن اکسپلیارموس، آوادرا کاوادرا...».

من از چنین آدمی می‌ترسم! اگر ده-دوازده نفر دورِ خودم ببینم که این کار را می‌کنند، از این سؤال و حتی از کلِ ریاضیات هم خواهم ترسید. اما یاد گرفته‌ام ریاضیات این چیزها نیست.  زمانی که قصد دارم کله‌ام را کار بیندازم، ریاضیات باید کمک کند مسیرِ درستی را انتخاب کنم، نه اینکه یک مشت وِردِ بی‌خاصیت در حافظه‌ام بریزد. 

اما چطور باید مسئلۀ حوض را حل کرد؟

از آن‌جایی که من عادت دارم همه‌چیز را از اول برای خودم بشکافم، موقعِ حلِ مسئله‌های ریاضی هم همین کار را می‌کنم. راستش اگر این کار را نکنم، استرس می‌گیرم که نکند چیزی را از قلم انداخته باشم یا خوب نفهمیده باشم. الأن هم می‌خواهم همین کار را بکنم. 

اول فکر می‌کنم که اصلاً شیرِ حوض یعنی چه؟ خوب! احتمالاً یعنی شیری که درونِ یک حوض یا استخر وجود دارد که قرار است آن را پر کند. پس لابد این حوض یا استخر از اول خالی بوده است. 

بعد قرار است این شیر را باز کنیم تا حوض پر شود. مسئله می‌گوید بعد از ۶ ساعت این حوض پر می‌شود. در ادامه گفته است شیرِ دیگری هم در حوض وجود دارد که اگر آن را باز کنیم (حتماً این بار هم در زمانی که حوض خالی است) بعد از ۳ ساعت حوض پر می‌شود. پس این یکی شیر با سرعتِ بیشتری حوض را پر می‌کند. شاید قطرِ سرِ شیر بیشتر است یا آب با فشارِ بیشتری از آن خارج می‌شود. به هر حال اگر این شیرِ دوم باز باشد، حوض با سرعتِ بیشتری پر می‌شود. آیا ممکن است علتِ سریع‌تر پر شدنِ حوض با شیرِ دوم این باشد که موقعی که شیرِ اول باز است، بعضی وقت‌ها هیچ آبی از شیر خارج نمی‌شود و فقط بعضی وقت‌ها آب از آن خارج می‌شود؟ و برای همین هم بیشتر طول می‌کشد تا حوض پر شود؟ یعنی مثلاً ممکن است شیرِ اول قطع و وصل شود؟ پاسخ خیر است. چون در ادامهٔ مسئله در پرانتز گفته است: «سرعتِ کارِ هر دو شیر ثابت است.» معنای این جمله این نیست که سرعتِ هر دو شیر یکسان است. معنایش این است که هر کدام از این شیرها را باز کنیم، آب با یک سرعتِ ثابت از آن خارج می‌شود و قطع و وصلی ندارند، این طور هم نیست که سرعت و فشارِ آبی که از هر کدام خارج می‌شود تغییری کند. راستش را بخواهید اگر این جملهٔ درونِ پرانتز نبود، اصلاً نمی‌شد این مسئله را حل کرد. 

تا اینجا خیلی چیزها روشن شد. حالا از ما خواسته است فرض کنیم اگر این دو شیر باهم باز شوند، چقدر طول می‌کشد حوض پر شود؟ 

قبل از پاسخ دادن به این سؤال، سه چیز را مرور کنیم. 

۱- زمانی که هر دو شیر باهم کار می‌کنند، سرعتِ پر شدنِ حوض از زمانی که هر کدام به تنهایی کار می‌کردند بیشتر خواهد بود یا کمتر؟ آیا ممکن است با یکی از آن‌ها برابر باشد؟ خیر. جواب منفی است. البته من هنوز برای این سؤال هیچ کارِ ریاضی‌ای نکرده‌ام و فقط از روی تجربه و عقلِ خودم می‌گویم که وقتی هر دو باز باشند، حوض سریع‌تر پر می‌شود. درواقع یک لحظه پیش خودم هر سه حالت را تصور می‌کنم (شیر اول به تنهایی، شیر دوم به تنهایی و هر دو شیر باهم) و می‌گویم حتماً در این حالت سریع‌تر پر می‌شود. وقتی می‌گویم تصور می‌کنم، منظورم این است که در ذهنم می‌آورم و حتی شاید تصویرش را در ذهنم کامل می‌بینم. یعنی می‌گویم اگر یک شیر باز باشد چه می‌شود و اگر هر دو باز باشند چه می‌شود؟

۲- بالاتر جایی در حلِ مسئله گفتم فرض کنیم هر دو شیر باهم باز باشند... . این واژهٔ فرض کردن در ریاضیات بسیار مهم است. در جاهای دیگری هم به آن اشاره خواهم کرد. اما فعلاً اینجا منظورم همان تصور کردن است. تصور کنیم اگر یکی از شیرها باز باشد...، اگر هر دو باز باشند... . درواقع همین تصور کردنِ حالت‌ها و شرایط مختلف است که ریاضیات را پیش برده است و کمک می‌کند مسئله‌های جدید طرح کنیم و آن‌ها را حل کنیم. یعنی فرض کردن، هم وسیلهٔ طرح مسئله است هم وسیلهٔ حلِ مسئله.

۳- فرض کنیم کسی پیدا شد و گفت ممکن است وقتی این دو شیر را باهم باز می‌کنیم اختلالی به وجود بیاید و یکی از شیرها درست کار نکند. خوب! حرفش بیراه نیست اما ربطی به مسئلهٔ ما ندارد. یعنی ممکن است در دنیای واقعی این اتفاق بیفتد، اما زمانی که ما می‌خواهیم یک مسئلهٔ ریاضی را حل کنیم، فقط اجازه داریم از چیزهایی که در مسئله گفته شده است استفاده کنیم. نمی‌توانیم از خودمان چیزهای جدیدی اضافه کنیم. خیلی وقت‌ها مسئله‌های ریاضی و چیزهایی که در آن گفته می‌شود و مسئله از ما می خواهد تصورشان کنیم، اصلاً در دنیای واقعی وجود ندارند. از این مسئله‌ها در این کتاب خیلی وجود دارد و به مرور آن‌ها را خواهید دید.  

حالا برویم سراغ ادامهٔ راهِ‌حل.

یکی از راهِ‌حل‌های خوب:

همان‌طور که گفتم این مسئله از آن مسئله‌هایی نیست که با نگاه کردن بشود حلش کرد. هرچه فکر کنیم، از ترکیبِ این  ۳ ساعت و ۶ ساعت چیزی دستگیرمان نمی‌شود. خوبیِ‌ ریاضیات این است که این‌جور وقت‌ها راه‌های شگفت‌انگیزی به ما نشان می‌دهد. یک گرافیست را با یک آدمی که چیزی از گرافیک و نقاشی و عکاسی سرش نمی‌شود، مقایسه کنید. فرض کنید قرار است این دو نفر یک شخصیت کارتونی را به تصویر بکشند. به هر دو نفرشان زمان و وسایلِ یکسان می‌دهیم. آدمِ معمولی هرچه تلاش می‌کند یک تصویرِ کج‌و‌کوله و زشت می‌کشد. گرافیست اما با همان وسایل، تصویری زیبا و دوست‌داشتنی خلق می‌کند که هر کس نگاه می‌کند، کیفیت و زیبایی‌اش را تأیید می‌کند. راستش این موضوع به نظرِ من شگفت‌انگیز است که کسی با تمرین و وقت گذاشتن و ذوق و اشتیاق به خرج دادن، می‌تواند کاری کند که یک نفرِ دیگر بدون وقت گذاشتن و اشتیاق و صبر داشتن، نمی‌تواند انجامش دهد. این آدمِ  ماهر، همهٔ مهارتش در این است که می‌تواند شگفتی‌ها و زیبایی‌های کارِ خودش را درک کند. او صبر می‌کند، ناراحت و ناامید می‌شود، دلسرد می‌شود اما همهٔ این‌ها را تحمل می‌کند تا راهی برای زیباتر کشیدنِ شخصیتِ کارتونی‌اش پیدا کند. ریاضیات هم همین است. فقط کافی است مهارت لازم برای یافتنِ زیبایی‌های چشم‌نوازش را به دست بیاورید. 

در این مسئله با اینکه ۳ ساعت و ۶ ساعت کمکِ خاصی به ما نمی‌کنند، اما می‌شود اطلاعاتِ این مسئله را جوری تغییر شکل داد که ما هم یک شخصیتِ کارتونیِ زیبا بکشیم. من به جای اینکه به این فکر کنم که هر کدام از این شیرها در چند ساعت کلِ حوض را پر می‌کنند، به این فکر می‌کنم که هر کدام از این شیرها در یک ساعت چه مقدار  از حوض را پر می‌کنند. چرا این کار را کردم؟ چون اینجوری در موردِ این شیرها اطلاعاتِ قابلِ مقایسه‌تری پیدا می‌کنم.  مثلاً فرض کنید، من به شما بگویم خواهرِ  نسترن می‌تواند ۵۰ کیلوگرم بار را از زمین بلند کند اما نسترن فقط می‌تواند ۲۷ کیلوگرم بار را بلند کند. آیا می‌شود گفت احتمالاً نسترن ضعفِ بدنی دارد؟ خیر. چون ما نمی‌دانیم نسترن و خواهرش هر کدام چند سال دارند. ممکن است نسترن ۷ سالش باشد و خواهرش ۲۷ ساله باشد. خوب! با این اوصاف این مقایسهٔ خوبی نیست. نمی‌شود توانِ بدنیِ آدمی ۷ ساله را  با توانِ آدمی ۲۷ ساله مقایسه کرد و نتیجه‌ای گرفت. برای همین است که کشتی‌گیرها را وزن‌کشی می‌کنند و همهٔ ورزش‌های رسمی رده‌بندیِ وزنی دارند و ورزش‌های دیگر مثل والیبال و بسکتبال و تنیس، رده‌بندیِ سنی دارند. برای این است که بشود آدم‌ها و نتایجِ عملکردشان را مقایسه کرد. در این مسئله هم خوب است راهی پیدا کنیم برای مقایسهٔ دقیق‌ترِ این دو شیر. راهی که من برای مقایسه کردن انتخاب کرده‌ام این است که ببینم هر کدامشان در یک ساعت چه مقدار از حوض را پر می‌کنند؟ 

سراغِ شیرِ اول می‌روم. 

اگر 6 ساعت طول می‌کشد که یک شیرِ حوض، آن حوض را پر کند، پس در هر یک ساعت،  از حوض را پر می‌کند. شکلِ زیر را ببینید.

درست به همین ترتیب می‌توان گفت آن شیرِ دیگر در یک ساعت از حوض را پر می‌کند. بنابراین ما چنین یافته‌هایی داریم. یک شیر در یک ساعت از حوض و شیرِ دیگری در یک ساعت از حوض را پر می‌کند. اکنون به این فکر کنیم که اگر این دو شیر باهم کار کنند، در یک ساعت چه کسری (چه مقداری) از حوض پر می‌شود؟ خوب! یکی از شیرها را پر کرده و شیرِ دیگر  را. پس در مجموع   از حوض را پر می‌کنند(مخرج مشترک گرفتم و ساده کردم). اگر بپرسید چرا باید این‌ها را باهم جمع کنیم خواهم گفت: این طور فکر کنید که اگر من در یک ساعت یک سوم از یک کیک را بخورم و شما هم در یک ساعت یک سوم از همان کیک را بخورید، در مجموع چقدر از کیک را خورده‌ایم؟ بله. یک سوم به علاوۀ یک سوم یعنی دوسوم از کیک را باهم خورده‌ایم. مثلاً اگر بگویم هرکدام نصفِ کیک (  ) را می‌خوریم در مجموع چه مقدار از کیک را خورده‌ایم؟ بله. کلِ کیک را با هم خورده‌ایم. چرا؟ چون  را با  جمع کردم شد  یعنی کلِ کیک. مسئلۀ اصلیِ ما هم همین‌طور است. باید کسرها را باهم جمع کنیم. تفاوتش این است که در مسئلهٔ ما این کسرها مخرج‌های متفاوت دارند که به همین دلیل مخرج مشترک گرفتیم.

پس این دو شیر باهم در یک ساعت،  از حوض را پر خواهند کرد. برای اینکه بفهمیم کلِ حوض را در چه زمانی پر می‌کنند، کافی است یک جدولِ تناسب بکشیم.

(چرا جدول تناسب؟ فرض کنید چنین سؤالی از شما بپرسم: «من اگر یک روزِ کامل کار کنم ۵۰۰۰ کلمه می‌نویسم. اگر ۲۳ روزِ کامل با همان سرعت کار کنم چند کلمه خواهم نوشت؟»  شما برای حلِ این سؤال جدول می‌کشید. حتی اگر ذهنی بگویید ۵۰۰۰ را در ۲۳ ضرب می کنم، باز هم دارید در ذهنتان جدولِ تناسب می کشید.)‌ 

جدولِ تناسبِ مسئلهٔ اصلی هم چنین چیزی خواهد بود: 

برای حلِ جدولِ تناسب کافی است توجه کنیم ردیف اولِ ستونِ سمتِ راست (یعنی ) دو برابر شده تا به ردیفِ اولِ ستونِ سمتِ چپ (یعنی ۱) تبدیل شود. پس باید همین اتفاق برای ردیفِ دومِ ستونِ سمتِ راست (یعنی  که برابرِ ۱ است) بیفتد تا ردیف دومِ ستونِ چپ (یعنی علامتِ سؤال) به دست بیاید. شکلِ زیر را ببینید.

با این توضیحات می‌بینیم که اگر این دو شیر باهم باز باشند، حوض را در دو ساعت پر می‌کنند.

این مسئله حل شد اما بگذارید اعدادِ مسئله را تغییر دهیم تا خیالمان راحت شود که هربار لازم باشد می‌توانیم چنین مسئله‌ای را خودمان حل کنیم.

مسئله. یک شیرِ حوض، در 5 ساعت حوض را پر می‌کند. شیرِ دیگری همان حوض را در 4 ساعت پر می‌کند. اگر این دو شیر را هم‌زمان باز کنیم چقدر طول می‌کشد که حوض پر شود؟ (سرعتِ کارِ شیر ثابت است.)

درست مانندِ مسئلۀ قبل می‌توانیم نشان دهیم در مدتِ یک ساعت یکی از شیرها  و دیگری   از حوض را پر می‌کنند. پس اگر باهم کار کنند در یک ساعت  یعنی  از حوض را پر می‌کنند. حالا برای اینکه بفهمیم کلِ حوض را در چه مدتی پر می‌کنند، جدولِ تناسب را برپا می‌کنیم!

پس اگر هر دو شیر هم‌زمان باز باشند، در  ساعت کل حوض را پر می‌کنند. یعنی حدوداً 133 دقیقه. (  را ضرب‌در 60 کردم که به دقیقه به دست بیاید. مثلاً اگر بپرسم ۴ ساعت چند دقیقه است؟ شما چه کار می‌کنید؟ بله ۴ را در ۶۰ ضرب می‌کنید.)

اما چرا در جدولِ تناسب ۱ را در   ضرب کردم؟ برای اینکه بفهمم سمتِ چپ را باید در چه عددی ضرب کنم، باید می‌دیدم  در چه عددی ضرب شده و به   تبدیل شده است. برای این هم   را بر   تقسیم کردم. مثل اینکه از شما بپرسم 8 در چه عددی ضرب شده است و به 24 تبدیل شده است؟ شما 24 را بر 8 تقسیم خواهید کرد. در اینجا هم باید همین کار را بکنیم.

    

(در اینجا فرض گرفته‌ام شما می‌دانید که می‌توان تقسیم را به ضرب تبدیل کرد و می‌دانید چگونه باید این کار را کرد. این کار را در سال پنجم یاد گرفته‌اید و در کتاب درسیِ ریاضیِ ششم در صفحهٔ ۳۴ هم این موضوع آمده است. البته چون مخرج کسرهای بالا برابرند می‌شد فقط صورت‌ها را بر هم تقسیم کنیم که باز هم جواب همین  بود.)

شکلِ زیر هم می‌تواند کمک کند. 

در شکلِ بالا استخر به ۲۰ قسمتِ مساوی تقسیم شده است. یعنی هر قسمت  از استخر را نشان می‌دهد. هر ۹ قست از این‌ها در یک ساعت پر می‌شود پس یک ساعت به ۹ قسمت تقسیم شده است هر یک قسمت در  ساعت پر می‌شود (یعنی هر مربع کوچک  ساعت طول می‌کشد تا پر شود). بنابراین برای پر شدنِ هر ۲۰ قسمت، ۲۰ تا از این  ها نیاز داریم. یعنی: کل استخر در  () ساعت پر می‌شود.

اکنون خوب است اگر تلاش کنید مسئله را برای خودتان کمی جلوتر ببرید. مثلاً پیشنهادِ من این است که عددها را کمی پیچیده‌تر کنید. می‌توانید فرض کنید یکی از شیرها در  ساعت و دیگری در  ساعت حوض را پر می‌کند. یا پیشنهادِ دیگرم این است که فرض کنید سه شیر وجود دارند که یکی در 4 ساعت، یکی در 6 ساعت و دیگری در 7 ساعت یک حوض را پر می‌کنند. اگر هم‌زمان کار کنند چقدر طول می‌کشد حوض پر شود؟ این را که حل کردید، باز هم مسئله را جلوتر ببرید (اعدادِ پیچیده‌تر و تعدادِ شیرهای بیشتر).

ممکن است بگویید همان دو راهِ حلِ اول که ساده‌تر بودند: "ما اعداد را در فرمول می‌گذاریم و جواب را تحویل می‌گیریم." شاید این طور باشد اما آن شیوۀ حلِ مسئله ربطی به ریاضیات ندارد و حتی دیگر در آزمون‌ها هم کاربردی ندارد. این فرمول‌ها و رابطه‌ها یک بار مصرف‌اند و وقتی همه آن‌ها را بلد باشند، ارزشِ طرح شدن در یک آزمونِ جدی را ندارند. پس نه تنها کمکی به یادگیریِ ریاضی شما نمی‌کنند بلکه کمکی به شرکت در آزمون‌های جدی هم نمی‌کنند.

در ادامه می‌خواهم مسئله‌ای دیگر بیان کنم که مسئلۀ جالبی است اما راهِ‌حل‌هایی که معمولاً گفته می‌شوند، از جنسِ همان جادو و جمبل است، اما این بار حتی کمی غیرقابلِ فهم‌تر از جادوهای قبلی.